Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，且OB=2．
（1）若點(diǎn)A在y軸正半軸上，∠OAB=30°且△ABO和△ABO′關(guān)于直線(xiàn)AB對(duì)稱(chēng)，求此時(shí)點(diǎn)O′的橫坐標(biāo)．
（2）已知，點(diǎn)M（m，0）、N（0，n）（2＜n＜4），將點(diǎn)B向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)B′，若∠MB′N(xiāo)=90°，且mn=$\frac{15}{7}$，求m²+n²的值．

Answer 1

分析 （1）利用關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出△ABO≌△ABO′，進(jìn)而得出∠O′CB=90°，即可得出∠BO′C=30°，則BC=$\frac{1}{2}$O′B=1，即可求出點(diǎn)O′的橫坐標(biāo)；
（2）首先得出△DB′N(xiāo)≌△BB′M（ASA），進(jìn)而得出m²+n²=（m+n）²-2mn即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1：

過(guò)點(diǎn)O′作O′C⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，
∵△ABO和△ABO′關(guān)于直線(xiàn)AB對(duì)稱(chēng)，
∴△ABO≌△ABO′，
∴∠ABO=∠ABO′，OB=O′B=2，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠ABO′=60°，
∵∠OBO′+∠O′BC=180°，
∴∠O′BC=60°，
∵O′C⊥x軸，
∴∠O′CB=90°，
∴∠BO′C=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$O′B=1，
∴OC=OB+BC=3，
即點(diǎn)O′的橫坐標(biāo)為：3；
2）如圖2：

過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，
∵點(diǎn)B在x軸正半軸上，且OB=2，
∴B（2，0），
∵點(diǎn)B向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)B′，
∴B′（2，2），
∴BB′=B′D=2，
∵∠B′BM=90°，∠DOB=90°，∠B′DO=90°，
∴∠DB′B=90°，
∴∠DB′M+∠BB′M=90°，
∵∠MB′N(xiāo)=90°，
∴∠DB′M+∠DB′N(xiāo)=90°，
∴∠DB′N(xiāo)=∠BB′M，
在△DB′N(xiāo)和△BB′M中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DB′N(xiāo)=∠BB′M}\\{BB′=B′D}\\{∠B′DN=∠B′BM}\end{array}\right.$，
∴△DB′N(xiāo)≌△BB′M（ASA），
∴DN=BM，
∵點(diǎn)M（m，0），N（0，n），
∴BM=2-m，DN=n-2，
∴2-m=n-2，
即m+n=4，
∵mn=$\frac{15}{7}$，
∴m²+n²
=（m+n）²-2mn
=4²-2×$\frac{15}{7}$
=16-$\frac{30}{7}$
=$\frac{82}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵