Question

11．如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$的圖象交于B、A兩點(diǎn)，則∠OAB的大小的變化趨勢(shì)為（　�。�

• A． 逐漸變小
• B． 逐漸變大
• C． 時(shí)大時(shí)小
• D． 保持不變

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先證明△BOM∽△OAN，得到$\frac{BM}{ON}=\frac{OM}{AN}$；設(shè)B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），得到BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{2}{n}$，OM=m，ON=n，進(jìn)而得到mn=$\frac{2}{mn}$，mn=$\sqrt{2}$，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用三角函數(shù)的定義證明知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$為定值，即可解決問題．

解答 解：如圖，分別過點(diǎn)A、B作AN⊥x軸、BM⊥x軸；
∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴$\frac{BM}{ON}=\frac{OM}{AN}$；
設(shè)B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{2}{n}$），
則BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{2}{n}$，OM=m，ON=n，
∴mn=$\frac{2}{mn}$，mn=$\sqrt{2}$；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$①；
∵△BOM∽△OAN，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BM}{ON}$=$\frac{1}{mn}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
由①②知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$為定值，
∴∠OAB的大小不變，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答．