Question

2．如圖，在RT△ABC中，AC=BC，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到△DEC，AB與DE相交于點F．
（1）試判斷DE與AC的位置關(guān)系并證明；
（2）試探究四邊形ACEF是什么特殊的四邊形，并證明你的結(jié)論；
（3）若AC=1，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可知∠D=∠DCA=45°，從而可證明AD∥AC；
（2）由∠B=∠BCE=45°，從而可證明AB∥CE，從而可知四邊形AFEC為平行四邊形，然后由AC=CE，從而四邊形ACEF是菱形；
（3）由菱形的性質(zhì)可知AF=AC=1，然后由勾股定理可求得AB=$\sqrt{2}$，從而可求得BF的長．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠ACD=∠BCE=45°，∠D=∠A=45°．
∴∠D=∠DCA=45°．
∴DE∥AC．
（2）∵∠B=45°，∠BCE=45°，
∴∠B=∠BCE．
∴AB∥CE．
由（1）可知：DE∥AC，
∴四邊形ACEF是平行四邊形．
又∵AC=CE，
∴四邊形ACEF是菱形．
（3）∵四邊形ACEF是菱形，
∴AF=AC=1．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴BF=AB-AF=$\sqrt{2}-1$．

點評 本題主要考查的是菱形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，證得四邊形ACEF是菱形是解題的關(guān)鍵．