Question

11．己知Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在邊AC上．∠EDF=90°，直線DF與直線AB交于點(diǎn)G；
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上，求證：DE•AC=DF•AB；
（2）若AB=3．BC=5，△EFG是等腰三角形．求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質(zhì)得到∠B+∠C=90°，由已知條件得到∠DAC+∠C=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠B=∠DAC，推出△BED∽△AFD，得到比例式$\frac{DE}{DF}=\frac{BD}{AD}$，由△ABD∽△ADC，得到比例式$\frac{BD}{AD}=\frac{AB}{AC}$，即可得到結(jié)論；
（2）分兩種情況：①在等腰△EFG中，EF=EG，由∠EAF=∠EDF=90°得到A、E、D、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠BAD=∠EFG 于是得到∠BAD=∠G，根據(jù)等腰三角形的判定得到AD=DG 推出△BAD≌△EFD 得到EF=AB，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果②若EF=GF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BD}{AD}$，
∵∠B=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△ADC，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AB}{AC}$，
∴DE•AC=DF•AB；

（2）如圖，
①在等腰△EFG中，EF=EG，
∴∠G=∠EFG，
∵∠EAF=∠EDF=90°
∴A、E、D、F四點(diǎn)共圓，
∴∠BAD=∠EFG
∴∠BAD=∠G，
∴AD=DG
又∵DF=DG
∴DF=AD，∠ADB=∠EDF，
在△BAD與△EFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠EFD}\\{AD=DF}\\{∠ADB=∠EDF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△EFD，
∴EF=AB，
∴EF²=AB²
∴$\frac{25}{9}$x²-6x+9=9
解得x=$\frac{54}{25}$，
∴BE=$\frac{54}{25}$，
∴AE=$\frac{21}{25}$；
②若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥AC
∴A為EG中點(diǎn)
∴AE=AD=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，等腰三角形的判定，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．