Question

17．如圖，AB為⊙O的直徑，點P在線段AB的延長線上，BP=OB=2，點M在⊙O上，PM交⊙O于另一點N，如果MO⊥AN，則tan∠OMN=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 連接BN，由AB為⊙O的直徑，得到∠ANB=90°，由于MO⊥AN，推出BN∥OM，根據(jù)三角形的中位線定理得到BN=$\frac{1}{2}$OM=1，OC=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，在R_t△ABN中，根據(jù)勾股定理求出AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$，得到CN=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：連接BN，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ANB=90°，
∵M(jìn)O⊥AN，
∴BN∥OM，
∵BP=OB=2，
∴BN=$\frac{1}{2}$OM=1，
∵AO=BO，
∴OC=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
在R_t△ABN中，AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴CN=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴tan∠OMN=$\frac{CN}{CM}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，三角形的中位線定理，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．