Question

如圖，P是面積為4

3

的正△ABC內(nèi)任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，求PD+PE+PF的值．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：延長EP交AB于G，判斷出△AGE和△EGP都是正三角形，根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得FP=PG，AG=GE，再求出四邊形BDPG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得BG=PD，從而得到PD+PE+PF=AB，再根據(jù)等邊三角形的面積求出邊長，即可得解．

解答：解：如圖，延長EP交AB于G，
∵△ABC是正三角形，PE∥BC，PF∥AC，
∴△AGE和△FGP都是正三角形，
∴FP=PG，AG=GE，
∴PE+PF=PE+PG=GE=AG，
∵PD∥AB，PE∥BC，
∴四邊形BDPG是平行四邊形，
∴BG=PD，
∴PD+PE+PF=AB，
∵正△ABC的面積為4

3

，
∴

1

2

AB•

3

2

AB=4

3

，
∴AB=4，
∴PD+PE+PF=4．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造成等邊三角形和平行四邊形并把三條線段的長度之和轉(zhuǎn)化為等邊三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．