Question

7．如圖，矩形OABC，OA=9，AB=15，點E是BC上一點，沿AE折疊，使點B恰好落在x軸的點D處．
（1）求D、E點坐標；
（2）在y軸上是否存在一點P，使△APD為等腰三角形？若存在，求出P點坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用折疊的特性可得出BE=DE，AD=AB，利用勾股定理求出OD，即可得出點D的坐標，再得DE²=DC²+EC²即可得出點E的坐標，
（2）分四種情況①AP=AD時，②當AD=PD時，③當AP=PD時，④如當AP=AD時分別求出點P的坐標即可．

解答 解：（1）∵點E是BC上一點，沿AE折疊，使點B恰好落在x軸的點D處．
∴BE=DE，AD=AB，
∵OA=9，AB=15，四邊形OABC是矩形，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∴D（12，0）
∴DC=15-12=3，
∵DE²=DC²+EC²
設(shè)CE=x，（9-x）²=9+x²，解得x=4，x=-4（舍去），
∴CE=4，
∴E（15，4）；
（2）①如圖1，AP=AD時，

∵AD=15，
∴OP=OA+AD=9+15=24，
∴P（0，24）；
②如圖2，當AD=PD時，

∵AO=9，
∴OP=9，
∴P（0，-9）；
③如圖3，當AP=PD時，設(shè)AP=x，則OP=x-9，PD=x，

∵OD=12，
∴PD²=OP²+OD²，即x²=（x-9）²+12²，解得x=$\frac{75}{6}$，
∴OP=$\frac{75}{6}$-9=$\frac{7}{2}$，
∴P（0，-$\frac{7}{2}$），
④如圖4，當AP=AD時，

∵AD=15，
∴OP=AP-AO=15-9=6，
∴P（0，-6）．
綜上所述，在y軸上存在點P（0，24），P（0，-9），P（0，-$\frac{7}{2}$）或P（0，-6），使△APD為等腰三角形．

點評 本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，涉及等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是能正確的分不同情況畫圖，解析．