Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（0，-6），B（8，0）三點(diǎn)在⊙P上．
（1）求圓的半徑及圓心P的坐標(biāo)；
（2）M為劣弧$\widehat{OB}$的中點(diǎn)，求證：AM是∠OAB的平分線；
（3）連接BM并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，求N，M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再利用圓周角定理的推理可判斷AB為⊙P的直徑，則得到⊙P的半徑是5，然后利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圓周角定理由$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$，∠OAM=∠MAB，于是可判斷AM為∠OAB的平分線；
（3）連接PM交OB于點(diǎn)Q，如圖，先利用垂徑定理的推論得到PM⊥OB，BQ=OQ=$\frac{1}{2}$OB=4，再利用勾股定理計(jì)算出PQ=3，則MQ=2，于是可寫出M點(diǎn)坐標(biāo)，接著證明MQ為△BON的中位線得到ON=2MQ=4，然后寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵O（0，0），A（0，-6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙P的直徑，
∴⊙P的半徑是5
∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，
∴P（4，-3）；
（2）∵M(jìn)點(diǎn)是劣弧OB的中點(diǎn)，
∴$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠OAM=∠MAB，
∴AM為∠OAB的平分線；
（3）連接PM交OB于點(diǎn)Q，如圖，
∵$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$，
∴PM⊥OB，BQ=OQ=$\frac{1}{2}$OB=4，
在Rt△PBQ中，PQ=$\sqrt{P{B}^{2}-B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴MQ=2，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）；
∵M(jìn)Q∥ON，
而OQ=BQ，
∴MQ為△BON的中位線，
∴ON=2MQ=4，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和圓周角定理；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．此類題目通常解由半徑、弦心距和弦的一半所組成的直角三角形．