Question

2．如圖1，點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，正方形的邊長(zhǎng)是a，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定點(diǎn)P，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PM⊥BC時(shí)，四邊形PMCN是正方形．填空：①當(dāng)AP=2PC時(shí)，四邊形PMCN的邊長(zhǎng)是$\frac{1}{3}$a；②當(dāng)AP=nPC時(shí)（n是正實(shí)數(shù)），四邊形PMCN的面積是$\frac{{a}^{2}}{（n+1）^{2}}$．
（2）猜想論證
如圖3，改變四邊形ABCD的形狀為矩形，AB=a，BC=b，點(diǎn)P在矩形ABCD的對(duì)角線AC上，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，固定點(diǎn)P，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，則$\frac{PM}{PN}$=$\frac{a}$．
（3）拓展探究
如圖4，當(dāng)四邊形ABCD滿足條件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD時(shí)，點(diǎn)P在AC上，PE、PF分別交BC，CD于M、N點(diǎn)，固定P點(diǎn)，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?zhí)骄?\frac{PM}{PN}$的值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①先判定△PMC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解；②先用①中的方法求得正方形PMCN的邊長(zhǎng)，再計(jì)算其面積；
（2）先過(guò)P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可；
（3）先過(guò)P作PG∥AB，作PH∥AD，并結(jié)合條件∠B+∠D=180°，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可．

解答 解：（1）①如圖2，∵PM⊥BC，AB⊥BC
∴△PMC∽△ABC
∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{PM}{AB}$
又∵AP=2PC
∴$\frac{PM}{AB}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{PM}{a}$=$\frac{1}{3}$
∴PM=$\frac{1}{3}$a，即正方形PMCN的邊長(zhǎng)是$\frac{1}{3}$a
②當(dāng)AP=nPC時(shí)（n是正實(shí)數(shù)），$\frac{PM}{AB}$=$\frac{1}{n+1}$
∴PM=$\frac{1}{n+1}$a
∴四邊形PMCN的面積=（$\frac{1}{n+1}$a）²=$\frac{{a}^{2}}{（n+1）^{2}}$

（2）如圖3，過(guò)P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°
∵Rt△PEF中，∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PG}{PH}$
由PG∥AB，PH∥AD可得，$\frac{PG}{AB}=\frac{CP}{CA}=\frac{PH}{AD}$
∵AB=a，BC=b
∴$\frac{PG}{a}=\frac{PH}$，即$\frac{PG}{PH}$=$\frac{a}$
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{a}$

（3）如圖4，過(guò)P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，則∠HPG=∠DAB
∵∠EPF=∠BAD
∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM
∴∠HPN=∠GPM
∵∠B+∠D=180°
∴∠PGC+∠PHC=180°
又∵∠PHN+∠PHC=180°
∴∠PGC=∠PHN
∴△PGM∽△PHN
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PG}{PH}$①
由PG∥AB，PH∥AD可得，$\frac{PG}{AB}$=$\frac{CP}{CA}$=$\frac{PH}{AD}$
即$\frac{PG}{PH}$=$\frac{AB}{AD}$②
∴由①②可得，$\frac{PM}{PN}$=$\frac{AB}{AD}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用以及平行線分線段成比例定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，并根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等判定兩個(gè)三角形相似．解題時(shí)注意，平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．