Question

4．如圖，拋物線y=-（x+1）（x-3）交x軸于點A、B，點D為拋物線的頂點，⊙A與y軸相切，現(xiàn)將該圓沿拋物線從點A平移到點D，則圓上的一條直徑掃過的最大面積是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 一條直徑掃過的面積是一個曲邊平行四邊形（一組對邊是直徑，另一組對過是A到D的那段拋物線），它的面積就等于兩條直徑為對邊的平行四邊形的面積，底是確定的直徑為2，當高是AD時（即這條直徑與線段AD垂直時）面積最大，進而求出即可．

解答 解：如圖所示：過點D作DE⊥x軸于點E，
y=-（x+1）（x-3）
=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
則D（1，4），
y=0時，0=-（x+1）（x-3）
解得：x₁=-1，x₂=3，
則AO=1，則圓A的直徑為2，
則AE=2，DE=4，
故AD=2$\sqrt{5}$，所以最大面積是：2×2$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及二次函數(shù)綜合，根據(jù)題意得出這條直徑與線段AD垂直時掃過的面積最大是解題關(guān)鍵．