Question

觀察下列等式：
第1個等式：a₁=

3

1×2×22

=

1

1×2

-

1

2×22

；
第2個等式：a₂=

4

2×3×23

=

1

2×22

-

1

3×23

；
第3個等式：a₃=

5

3×4×24

=

1

3×23

-

1

4×24

；
第4個等式：a₄=

6

4×5×25

=

1

4×24

-

1

5×25

．
按上述規(guī)律，回答以下問題：
（1）用含n的代數式表示第n個等式：a_n=

 

=

 

；
（2）式子a₁+a₂+a₃+…+a₂₀=

 

．

Answer 1

考點：規(guī)律型：數字的變化類

專題：規(guī)律型

分析：（1）由前四個等是可以看出：是第幾個算式，等號左邊的分母的第一個因數是就是幾，第二個因數是幾加1，第三個因數是2的幾加1次方，分子是幾加2；等號右邊分成分子都是1的兩項差，第一個分母是幾乘2的幾次方，第二個分母是幾加1乘2的幾加1次方；由此規(guī)律解決問題；
（2）把這20個數相加，化為左邊的形式相加，正好抵消，剩下第一個數分裂的第一項和最后一個數分裂的后一項，得出答案即可．

解答：解：（1）用含n的代數式表示第n個等式：a_n=

n+2

n(n+1)•2n+1

=

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

．
（2）a₁+a₂+a₃+…+a₂₀
=

1

1×2

-

1

2×22

+

1

2×22

-

1

3×23

+

1

3×23

-

1

4×24

+

1

4×24

-

1

5×25

+…+

1

20×220

-

1

21×221

=

1

2

-

1

21×221

．
故答案為：（1）

n+2

n(n+1)•2n+1

，

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

；
（2）

1

2

-

1

21×221

．

點評：此題考查數字的變化規(guī)律，從簡單情形入手，找出一般規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．