Question

20．如圖所示，港口B位于港口O正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度駛離港口O，同時一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60km/h的速度駛向小島C，在小島C用1h加裝補給物資后，立即按原來的速度給游船送去．
（1）快艇從港口B到小島C需要多長時間？
（2）若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時1h，求v的值及相遇處與港口O的距離．

Answer 1

分析 （1）要求B到C的時間，已知其速度，則只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的時間；
（2）過C作CD⊥OA，垂足為D，設(shè)相會處為點E．求出OC=OB•cos30°=60$\sqrt{3}$，CD=$\frac{1}{2}$OC=30$\sqrt{3}$，OD=OC•cos30°=90，則DE=90-3v．在直角△CDE中利用勾股定理得出CD²+DE²=CE²，即（30$\sqrt{3}$）²+（90-3v）²=60²，解方程求出v=20或40，進而求出相遇處與港口O的距離．

解答 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，
∴∠BCO=90°．
在Rt△BCO中，∵OB=120，
∴BC=$\frac{1}{2}$OB=60，
∴快艇從港口B到小島C的時間為：60÷60=1（小時）；

（2）過C作CD⊥OA，垂足為D，設(shè)相會處為點E．
則OC=OB•cos30°=60$\sqrt{3}$，CD=$\frac{1}{2}$OC=30$\sqrt{3}$，OD=OC•cos30°=90，
∴DE=90-3v．
∵CE=60，CD²+DE²=CE²，
∴（30$\sqrt{3}$）²+（90-3v）²=60²，
∴v=20或40，
∴當v=20km/h時，OE=3×20=60km，
當v=40km/h時，OE=3×40=120km．

點評 此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理等知識，理解方向角的定義，得出∠BCO=90°是解題的關(guān)鍵，本題難易程度適中．