Question

8．邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），作PE⊥PB交CD于點(diǎn)E．
（1）求證：PE=PB；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AC上移動，設(shè)AP=x，CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）PB=PE，連接PD，由四邊形ABCD是正方形得到AB=AD，∠BAC=∠DAC，證得△BAP≌△DAP，得到PB=PD，∠PBC=∠PDC，再證明∠PDC=∠PED，等角對等邊得到PE=PD，所以PB=PE．
（2）過點(diǎn)P作HN∥BC，交AB于H，交CD于點(diǎn)N，由AP=x，所以AH=PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，則CE=CD-DN-EN，所以y=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1-$\sqrt{2}$x（0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

解答 解：如圖，連接PD，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△BAP和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠DAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCF=90°，
∵∠BPE=∠BCF，
∴∠BPE=90°，
∵四邊形PBCE的內(nèi)角和為360°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∵∠PED+∠PEC=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PDC=∠PED，
∴PE=PD，
∴PB=PE．
（2）如圖，過點(diǎn)P作HN∥BC，交AB于H，交CD于點(diǎn)N，

∵AP=x，
∴AH=PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CE=CD-DN-EN，
∴y=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1-$\sqrt{2}$x（0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到相等的邊．