Question

7．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：
【問題】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-2）²-$\frac{4}{3}$經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為A，則a=$\frac{1}{3}$．
【操作】將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對應(yīng)的函數(shù)解析式．
【探究】在圖②中，過點B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點從左至右依次為點C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時x的取值范圍．
【應(yīng)用】P是圖③中圖象G上一點，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時m的取值范圍．

Answer 1

分析 【問題】：把（0，0）代入可求得a的值；
【操作】：先寫出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據(jù)圖象可得對應(yīng)取值的解析式；
【探究】：令y=0，分別代入兩個拋物線的解析式，分別求出四個點CDEF的坐標(biāo)，根據(jù)圖象呈上升趨勢的部分，即y隨x增大而增大，寫出x的取值；
【應(yīng)用】：先求DE的長，根據(jù)三角形面積求高的取值h≥1；
分三部分進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時，設(shè)P[m，$\frac{1}{3}（m-2）^{2}-\frac{4}{3}$]，根據(jù)h≥1，列不等式解出即可；
②如圖③，作對稱軸由最大面積小于1可知：點P不可能在DE的上方；
③P與O或A重合時，符合條件，m=0或m=4．

解答 解：【問題】
∵拋物線y=a（x-2）²-$\frac{4}{3}$經(jīng)過原點O，
∴0=a（0-2）²-$\frac{4}{3}$，
a=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$；

【操作】：如圖①，拋物線：y=$\frac{1}{3}$（x-2）²-$\frac{4}{3}$，
對稱軸是：直線x=2，由對稱性得：A（4，0），
沿x軸折疊后所得拋物線為：y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{4}{3}$
如圖②，圖象G對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（x-2）^{2}-\frac{4}{3}（x≤0或x≥4）}\\{-\frac{1}{3}（x-2）^{2}+\frac{4}{3}（0＜x＜4）}\end{array}\right.$；

【探究】：如圖③，由題意得：
當(dāng)y=1時，$\frac{1}{3}$（x-2）²-$\frac{4}{3}$=1，
解得：x₁=2+$\sqrt{7}$，x₂=2-$\sqrt{7}$，
∴C（2-$\sqrt{7}$，1），F(xiàn)（2+$\sqrt{7}$，1），
當(dāng)y=1時，-$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{4}{3}$=1，
解得：x₁=3，x₂=1，
∴D（1，1），E（3，1），
由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當(dāng)1＜x＜2或x＞2+$\sqrt{7}$時，函數(shù)y隨x增大而增大；

【應(yīng)用】：∵D（1，1），E（3，1），
∴DE=3-1=2，
∵S_△PDE=$\frac{1}{2}$DE•h≥1，
∴h≥1；
①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時，設(shè)P[m，$\frac{1}{3}（m-2）^{2}-\frac{4}{3}$]，
∴h=$\frac{1}{3}$（m-2）²-$\frac{4}{3}$-1≥1，
（m-2）²≥10，
m-2≥$\sqrt{10}$或m-2≤-$\sqrt{10}$，
m≥2+$\sqrt{10}$或m≤2-$\sqrt{10}$，
②如圖③，作對稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，
∵H（2，$\frac{4}{3}$），
∴HM=$\frac{4}{3}$-1=$\frac{1}{3}$＜1，
∴點P不可能在DE的上方；
③∵M(jìn)N=1，
且O（0，0），A（4，0），
∴P不可能在CO（除O點）、OD、EA（除A點）、AF上，
∴P與O或A重合時，符合條件，
∴m=0或m=4；
綜上所述，△PDE的面積不小于1時，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2-$\sqrt{10}$或m≥2+$\sqrt{10}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、對稱性、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形和坐標(biāo)特點、折疊的性質(zhì)；運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想，應(yīng)用部分有難度，根據(jù)面積的條件，先求出底邊的長和確定高的取值是關(guān)鍵．