Question

△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)，連AD，BE,F為線段AD的中點(diǎn)，連CF

（1）如圖，當(dāng)D點(diǎn)在BC上時，試探索BE與CF的關(guān)系，并證明。

（2）如圖，把△DEC繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立請證明；如果不成立，請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明。

 

 

Answer 1

（1）CF=,CF⊥BE；理由詳見解析（2）仍然成立，理由詳見解析

【解析】

試題分析：（1）通過證明△BCE≌△ACD，即可證得BE與CF的關(guān)系，通過等量代換，可得∠CBE+∠BCF=90°；

（2）延長CF到M，使FM=FC，連接AM，DM，得四邊形AMDC是平行四邊形，通過證明△MAC≌△ECB，即可證明；

試題解析：（1）CF=,CF⊥BE

證明： △ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)

∴∠C=90，CD=CE,AC=BC

∴Rt△ADC≌Rt△BEC

∴AD=BE,∠ADC=∠BEC

又 F為線段AD的中點(diǎn)

∴CF=DF=

∴CF=,∠ADC=∠FCD

∴∠BEC=∠FCD

∠BEC+∠EBC=90

∴∠FCD+∠EBC=90

∴CF⊥BE

（2）仍然成立，即CF=,CF⊥BE

證明：延長CF至點(diǎn)G,使FG=FC,連接AG、GD．

F為線段AD的中點(diǎn)

∴四邊形ACDG是平行四邊形

∴AG∥CD,AG=CD

∴∠GAC+∠ACD=180

△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)

∴∠ACB=∠DCE=90，CD=CE,AC=BC

∴AG=CE,∠BCD+∠DAC+∠DAC+∠ACE=180

∴∠BCE+∠ACD=180

∴∠GAC=∠BCE

∴△AGC≌△CEB

∴．BE=CG, ∠ACG=∠CBE

∠ACG+∠BCG=90

∴∠CBE+∠BCG=90

∴CF=,CF⊥BE

考點(diǎn)：1．等腰直角三角形；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．平行四邊形的判定與性質(zhì)；4．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．