Question

2．如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（40，0），（0，30），動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E、F，連接EP、FP，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．
（1）求t=15時，△PEF的面積；
（2）當t為何值時，△EOP與△BOA相似．

Answer 1

分析 （1）先根據A、B兩點的坐標分別為（40，0），（0，30）得出OA及OB的長，再由EF∥x軸得出EF是△BOA的中位線，再根據三角形的面積公式即可得出結論；
（2）用t表示出OE及OP的長，再分△EOP∽△BOA與△EOP∽△AOB兩種情況進行討論．

解答 解：（1）∵A、B兩點的坐標分別為（40，0），（0，30），
∴OA=40，OB=30．
∵動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），
∴t=15時，BE=30-15=15，
∵EF∥x軸，
∴EF是△BOA的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$OA=20，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•OE=$\frac{1}{2}$×20×15=150；

（2）∵動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），
∴OE=t，OP=40-2t，
∴當△EOP∽△BOA時，$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{t}{30}$=$\frac{40-2t}{40}$，解得t=12（秒）；
當△EOP∽△AOB時，$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OE}{OA}$，即$\frac{40-2t}{30}$=$\frac{t}{40}$．解得t=$\frac{160}{11}$（秒）．
綜上所述，當t=12秒或t=$\frac{160}{11}$秒時，△EOP與△BOA相似．

點評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到三角形中位線定理、三角形的面積公式及相似三角形的判定與性質等知識，在解答（2）時要注意進行分類討論．