Question

16．如圖，在?ABCD中，BD是對角線，且BD⊥AD，OA=10cm，DB=12cm，OE⊥AC交CD于E，OF⊥AB于F
（1）求△ADE的周長；
（2）求OF的長．

Answer 1

分析 （1）先證明AE=CE，再根據(jù)勾股定理求出AD、AB，即可得出結果；
（2）先證明△BFO∽△BDA，得出對應邊成比例，即可求出OF．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC=10，OD=$\frac{1}{2}$DB=6，AB=CD，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴CD=AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∴△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=8+4$\sqrt{13}$；
（2）∵OF⊥AB，
∴∠BFO=90°，
∴∠BFO=∠BDA=90°，
又∵∠OBF=∠ABD，
∴△BFO∽△BDA，
∴$\frac{OF}{AD}=\frac{OB}{AB}$，即$\frac{OF}{8}=\frac{6}{4\sqrt{13}}$，
∴OF=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)；（1）把△ADE的周長轉(zhuǎn)化為AD+CD以及（2）中證明三角形相似得出比例式是解決問題的關鍵．