Question

4．如圖，分別以△ABC的三邊a，b，c為邊向外作正方形，正三角形，為直徑作半圓，若S₁+S₂=S₃成立，則△ABC是直角三角形嗎？

Answer 1

分析 分別根據(jù)正方形的面積公式，等邊三角形的面積公式及半圓的面積公式，先用含有a，b，c的式子，表示S₁，S₂，S₃，然后根據(jù)S₁+S₂=S₃，得到a，b，c的關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理的逆定理，即可判斷△ABC是直角三角形．

解答 解：（1）∵S₁+S₂=S₃，S₁=AC²，S₂=BC²，S₃=AB²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵S₁+S₂=S₃，S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵S₁+S₂=S₃，S₁=$\frac{π}{8}$AC²，S₂=$\frac{π}{8}$BC²，S₃=$\frac{π}{8}$AB²，
∴$\frac{π}{8}$AC²+$\frac{π}{8}$BC²=$\frac{π}{8}$AB²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的逆定理及正方形面積公式，等邊三角形的面積公式，及圓的面積公式的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是明確此題中①圖中三角形的邊長(zhǎng)的平方即為相應(yīng)的正方形的面積，②圖中三角形的邊長(zhǎng)的平方的$\frac{\sqrt{3}}{4}$倍，即為相應(yīng)的等邊三角形的面積，③圖中三角形的邊長(zhǎng)的平方的$\frac{π}{8}$倍，即為相應(yīng)的半圓的面積．