Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得△EDC．將△EDC演這個(gè)C方向平移得到△E₁D₁C₁．

（1）當(dāng)點(diǎn)D₁剛好落在斜邊AB上如圖1，求平移距離；
（2）設(shè)E₁D₁與邊BC交于點(diǎn)N，C₁D₁與邊AB交于點(diǎn)M，當(dāng)MN∥AC時(shí)，求平移的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：平移的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AC，CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DD₁的長(zhǎng)；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AC，CE的長(zhǎng)，進(jìn)而四邊形D₁MND是平行四邊形，得出△BMN∽△BAC，即可求出平移的距離．

解答：解：（1）如圖1，連接DD₁，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得△EDC，
∴AC=CD=1，BC=CE=

3

，
∴tan30°=

DD1

BD

=

DD1

BC-CD

=

DD1

3 -1

=

3

3

，
解得：D₁D=

3- 3

3

，
∴平移距離為：

3- 3

3

；

（2）如圖2，連接DD₁，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得△EDC，
∴AC=CD=1，BC=CE=

3

，
當(dāng)MN∥AC時(shí)，∵D₁D∥MN，CD∥C₁D₁，
∴四邊形D₁MND是平行四邊形，
∴MN=DD₁，
∴設(shè)DD₁=x，則DN=

3

3

x，
∴CN=1-

3

3

x，
∵M(jìn)N∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴

MN

AC

=

BN

BC

，
∴

x

1

=

3 -1+ 3 3 x

3

，
解得：x=

3- 3

2

，
∴當(dāng)MN∥AC時(shí)，平移的距離為：

3- 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平移的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段關(guān)系是解題關(guān)鍵．