Question

13．如圖，直線l與⊙相切于點D，過圓心O作EF∥l交⊙O于E、F兩點，點A是⊙O上一點，連接AE，AF，并分別延長交直線于B、C兩點；若⊙的半徑R=5，BD=12，則∠ACB的正切值為$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 連接OD，作EH⊥BC，如圖，先利用圓周角定理得到∠A=90°，再利用等角的余角相等得到∠BEH=∠C，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥BC，易得四邊形EHOD為正方形，則EH=OD=OE=HD=5，所以BH=7，然后根據(jù)正切的定義得到tan∠BEH=$\frac{7}{5}$，從而得到tan∠ACB的值．

解答 解：連接OD，作EH⊥BC，如圖，
∵EF為直徑，
∴∠A=90°，
∵∠B+∠C=90°，∠B+∠BEH=90°，
∴∠BEH=∠C，
∵直線l與⊙相切于點D，
∴OD⊥BC，
而EH⊥BC，EF∥BC，
∴四邊形EHOD為正方形，
∴EH=OD=OE=HD=5，
∴BH=BD-HD=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH=$\frac{BH}{EH}$=$\frac{7}{5}$，
∴tan∠ACB=$\frac{7}{5}$．
故答案為$\frac{7}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了正切的定義．