Question

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，且BC=2，則AB=$\sqrt{5}+1$．

Answer 1

分析 作∠ABC的平分線交AC于D如圖，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出∠ABC=∠C=72°，則∠ABD=∠CBD=36°，所以DA=DB，易得BD=BC，則AD=BC，再證明△BCD∽△ABC，得到BC²=CD•AD，則AD²=CD•AD，根據(jù)黃金分割的定義得到點D為AC的黃金分割點，據(jù)此可得AB的長．

解答 解：如圖，作∠ABC的平分線交AC于D，
∵AB=AC，且∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠CBD=∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AD，
∴AD²=CD•AD，
∴點D為AC的黃金分割點，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即$\frac{2}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AC=$\sqrt{5}+1$=AB，
故答案為：$\sqrt{5}+1$．

點評 本題考查了黃金分割，解題時注意：若點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，線段AB的黃金分割點有兩個．