Question

【題目】如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB于點(diǎn)E，且ME=1，AM=2，AE=．

（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)已知，由勾股定理逆定理可知，△AEM是直角三角形，從而平行的性質(zhì)得到AB⊥BC，因此得出結(jié)論．

（2）連接ON，求出ON和即可求出的長(zhǎng)．

（1）證明：∵M(jìn)E=1，AM=2，AE=，

∴．

∴△AEM是直角三角形，且∠AEM=90°．

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠ABC=∠AEM=90°．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴BC是⊙O的切線(xiàn)．

（2）如圖，連接ON，

∵∠AEM=90°，

∴AE⊥MN．

∴EN=ME=1．

設(shè)⊙O的半徑為x，則ON= x，OE=，

在Rt△OEN中，根據(jù)勾股定理，得：，

解得：．

∴．

∴．

∴．