Question

如圖，一次函數=kx+b的圖象經過A（0，-2）、B（1，0）兩點，與反比例函數的圖象在第一象限內交于點M，△OBM的面積為2．
（1）求一次函數和反比例函數的表達式；
（2）求線段AM的長；
（3）P是坐標軸上一點，當AM⊥PM時，求出點P的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數與一次函數的交點問題

專題：

分析：（1）根據一次函數y=k₁x+b的圖象經過A（0，-2），B（1，0）可得到關于b、k₁的方程組，進而可得到一次函數的解析式，設M（m，n）作MD⊥x軸于點D，由△OBM的面積為2可求出n的值，將M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M（3，4）在雙曲線y=

k2

x

上即可求出k₂的值，進而求出其反比例函數的解析式；
（2）根據已知構造直角三角形進而利用勾股定理得出AM的長；
（3）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由銳角三角函數的定義可得出OP的值，進而可得出結論．

解答：解：（1）∵直線y=k₁x+b過A（0，-2），B（1，0）兩點
∴

b=-2 k1+b=0

，
∴解得：

b=-2 k1=2

∴一次函數的表達式為y=2x-2，
∴設M（m，n），作MD⊥x軸于點D
∵S_△OBM=2，
∴

1

2

OB•MD=2，
∴

1

2

n=2，
∴n=4，
∴將M（m，4）代入y=2x-2得4=2m-2，
∴m=3
∵M（3，4）在雙曲線y=

k2

x

上，
∴4=

k2

3

，
∴k₂=12，
∴反比例函數的表達式為：y=

12

x

；

（2）過點M作MF⊥y軸于點F，
則FM=3，AF=4+2=6，
∴AM=

62+32

=3

5

；

（3）過點M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=

OA

OB

=2，
∴在Rt△PDM中，

PD

MD

=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴當PM⊥AM，此時點P的坐標為（11，0）．

點評：本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，涉及到的知識點為用待定系數法求一次函數與反比例函數的解析式、銳角三角函數的定義，熟知以上知識是解答此題的關鍵．