Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過O（0，0），M（1，1）和N（n，0）（n≠0）三點．
（1）若該函數(shù)圖象頂點恰為點M，寫出此時n的值及y的最大值；
（2）當(dāng)n=-2時，確定這個二次函數(shù)的解析式，并判斷此時y是否有最大值；
（3）由（1）、（2）可知，n的取值變化，會影響該函數(shù)圖象的開口方向．請你求出n滿足什么條件時，y有最小值？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）M點為頂點，則O、N關(guān)于x=1對稱，M點為最大值點，由此得出答案；
（2）由于拋物線的圖象經(jīng)過原點，故c=0；將M、N兩點坐標(biāo)代入y=ax²+bx聯(lián)立求解，并由解出的a值判斷是否有最大值；
（3）將M、N兩點坐標(biāo)代入y=ax²+bx聯(lián)立得出含a、n的方程，由a＞0確定n滿足的條件．

解答：解：（1）由二次函數(shù)圖象的對稱性可知n=2；
y的最大值為1．

（2）由題意得：

a+b=1 4a-2b=0

，
解這個方程組得：

a= 1 3 b= 2 3

；
故這個二次函數(shù)的解析式為y=

1

3

x²+

1

3

x；
∵

1

3

＞0，
∴y沒有最大值；

（3）由題意得：

a+b=1 an2+bn=0

，
整理得：an²+（1-a）n=0，即n（an+1-a）=0；
∵n≠0，
∴an+1-a=0；
故（1-n）a=1，而n≠1；
若y有最小值，則需a＞0，
∴1-n＞0，即n＜1；
∴n＜1且n≠0時，y有最小值．

點評：此題主要考查了拋物線的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系等重要知識點，難度適中．