Question

2．已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，F(xiàn)分別在射線AD，BC上．若點E與點B關(guān)于AC對稱，點E點F關(guān)于BD對稱，AC與BD相交于點G，則tan∠ADB=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAC，AB=AE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABE=45°，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠DBE=∠DBF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DBF=∠ADB，從而得到∠ADB=∠DBE，再根據(jù)等邊對等角可得BE=DE，然后用AB表示出DE、AD，再根據(jù)銳角的正切等于對邊比鄰邊列式計算即可得解．

解答 解：∵點E與點B關(guān)于AC對稱，
∴∠BAC=∠DAC，AB=AE，
又∵AB⊥AD，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∵點E點F關(guān)于BD對稱，
∴∠DBE=∠DBF，
∵AD∥BC，
∴∠DBF=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBE，
∴BE=DE，
在△ABE中，BE=$\sqrt{2}$AB，
∴DE=$\sqrt{2}$AB，
∴AD=AE+DE=AB+$\sqrt{2}$AB=（$\sqrt{2}$+1）AB，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AB}{（\sqrt{2}+1）AB}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，用AB表示出AD是解題的關(guān)鍵．