Question

12．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，則AD與EF的關(guān)系是（　�。�

• A． EF垂直平分AD
• B． AD垂直平分EF
• C． AD與EF互相垂直平分
• D． 不能確定

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)定理求出DE=DF，證Rt△ADE≌Rt△ADF，推出AE=AF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理解答即可．

解答 證明：設(shè)AD、EF的交點為K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AK=AK，
∴△AEK≌△AFK，
∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°，
∴AD是線段EF的垂直平分線，
即AD垂直平分EF，
故選B．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，找到Rt△AED和Rt△ADF，通過兩個三角形全等，找到各量之間的關(guān)系，即可證明．