Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC=3OA．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，若點(diǎn)G（2，m）是該拋物線上一點(diǎn)，E是直線AG下方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，△AEG的面積最大？求此時點(diǎn)E的坐標(biāo)和△AEG的最大面積；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）可分別過E、G作x軸的垂線，設(shè)垂足為F、H；那么△AGE的面積=△AEF的面積+四邊形FHGE的面積-△AGH的面積，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出F點(diǎn)坐標(biāo)及EF的長，根據(jù)上面所得出的面積計算方法，可得出關(guān)于△AGE的面積與E點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)，即可求出△AGE的最大面積及對應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)拋物線和圓的對稱性，知圓心必在拋物線的對稱軸上，由于該圓與x軸相切，可用圓的半徑表示出M、N的坐標(biāo)，將其入拋物線的解析式中，即可求出圓的半徑；（需注意的是圓心可能在x軸上方，也可能在x軸下方，需要分類討論）

解答 解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3；
（2）當(dāng)x=2時，y=x²-2x-3=-3，即G（2，-3），
設(shè)AG的解析式為y=kx+b，將A、G代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
直線AG的解析式為y=-x-1．
過E作EF⊥x軸交AG于，F(xiàn)如圖1，
E在拋物線上，F(xiàn)在直線AG上，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n²-2n-3），F(xiàn)（n，-n-1），
EF=（-n-1）-（n²-2n-3）=-n²+n+2
S=$\frac{1}{2}$EF•（_G-x_A）=$\frac{1}{2}$×（-n²+n+2）[2-（-1）]
=-$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)n=$\frac{1}{2}$時，S最大值是$\frac{27}{8}$，
n²-2n-3=-$\frac{15}{4}$，即E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）如圖2，
①當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達(dá)式，解得R=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$；
②當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），則N（r+1，-r），
代入拋物線的表達(dá)式，解得r=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∴圓的半徑為$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、圖形面積的求法等知識，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．