Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是△ABC的角平分線，若P，Q分別是AD和AC邊上的動點，則PC+PQ的最小值是（　　）

• A． $\frac{6}{5}$
• B． 2
• C． $\frac{12}{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由軸對稱的性質(zhì)可知：PC=PC′，所以QP+PC=QP+PC′，由垂線段最短可知：當C′Q⊥AC時，C′Q有最小值，然后利用銳角三角函數(shù)的定義即可其肚餓QC′的長．

解答 解：如圖所示：將△ACD沿AD翻折得到△ADC′，連接DC′，過點C′作C′Q⊥AC．

∵AD是∠CAB的角平分線，
∴△ACD與△ADC′關(guān)于AD對稱．
∴點C′在AB上．
由翻折的性質(zhì)可知：AC′=AC=3，．PC=PC′．
∴QP+PC=QP+PC′．
由垂線段最短可知：當C′Q⊥AC時，C′Q有最小值．
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$．
在Rt△AQC′中，sin∠QAC′=$\frac{QC′}{AC′}=\frac{4}{5}$，即$\frac{QC′}{3}=\frac{4}{5}$．
∴QC′=$\frac{12}{5}$．
故選：C．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，明確當C′Q⊥AC時，C′Q有最小值是解題的關(guān)鍵．