Question

5．已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°°，AC=3，BC=4．
（1）求AB的長；
（2）在直線AC、BC上分別取一點M、N，使得△AMN≌△ABN，求CN的長．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AB即可；
（2）分兩種情況：①當∠BAN=∠MAN，且AM=AB時，則BN=MN，且AM=AB=5，求出CM，設(shè)CN=x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②當∠BAN=∠MAN，且AM=AB時，則BN=MN，且AM=AB=5，求出CM=8，設(shè)CN=x，則BN=MN=x+4，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（2）分兩種情況：
①如圖1所示：
當∠BAN=∠MAN，且AM=AB時，有△AMN≌△ABN，
則BN=MN，且AM=AB=5，
∴CM=2，
設(shè)CN=x，
在Rt△MCN中，MC²+CN²=MN²，
即2²+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴CN=$\frac{3}{2}$；
②如圖2所示：
當∠BAN=∠MAN，且AM=AB時，有△AMN≌△ABN，
則BN=MN，且AM=AB=5，
∴CM=8，
設(shè)CN=x，則BN=MN=x+4，
在Rt△MCN中，MC²+CN²=MN²，
即8²+x²=（4+x）²，
解得：x=6，
∴CN=6；
綜上所述：CN的長為$\frac{3}{2}$或6．

點評 本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．