Question

1．在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，∠ADE=∠CBF．
（Ⅰ）求證：AE=CF；
（Ⅱ）若DF=BF，求證：EF⊥BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)全等三角形的判定定理證明△ADE≌△CBF，即可證得結(jié)論；
（2）證明四邊形DEBF是菱形，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{AD=BC}&{\;}\\{∠ADE=∠CBF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF；
（Ⅱ）證明：∵AE=CF，DF=BF，
∴DF=BE，∵DF∥BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴四邊形DEBF是菱形，
∴EF⊥BD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．