Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根且其中一根為定值．
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=7x₁-mx₂，求這個函數(shù)的解析式；并求當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤3m．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）先計算判別式的值得到△=（m+2）²，由m＞0，得到△＞0，根據(jù)判別式的意義得到方程有兩個不相等的實數(shù)根，再利用求根公式得到x=

3m+2±(m+2)

2m

，可得到方程有一個根為1，于是得到方程有兩個不相等的實數(shù)根且其中一根為定值．
（2）解方程得到x₁=1，x₂=2+

2

m

，所以y=7-m（2+

2

m

）=-2m+5，然后解不等式-2m+5≤3m．

解答：（1）證明：△=（3m+2）²-4m•（2m+2）
=m²+4m+4
=（m+2）²，
∵m＞0，
∴（m+2）²＞0，即△＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∵x=

3m+2±(m+2)

2m

，
∴方程有一個根為1，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根且其中一根為定值．
（2）解：∵x=

3m+2±(m+2)

2m

，
∴x₁=1，x₂=2+

2

m

，
∴y=7x₁-mx₂
=7-m（2+

2

m

）
=-2m+5，
當y≤3m，即-2m+5≤3m，
∴m≥1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．