Question

6．如圖，在?ABCD中，AB=$\sqrt{2}$AD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，連接OC交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若CE=4，求⊙O半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）要證CD是⊙O的切線，只要連接OD，再證∠ODC=90°即可．
（2）由AB=2x根據(jù)圖形表示出DC=2x，OC=x+4，OD=x，用勾股定理得OC²=OD²+CD²即可．

解答 （1）證明：設(shè)AB=2x，則AO=DO=x，
∵AB=$\sqrt{2}$AD，
∴AD=$\sqrt{2}$x，
∴AD²=2x²，AO²+DO²=x²+x²=2x²，
∴AD²=AO²+DO²，
∴△AOD為直角三角形，
∴∠AOD=90°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴∠ODC=90°，
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵AB=x，
∴DC=2x，
∵OC=OE+CE=x+4，OD=x，
在Rt△ODC中，OC²=OD²+CD²，
∴（x+4）²=x²+（2x）²，
∴x=$\sqrt{5}$+1或x=-$\sqrt{5}$+1（舍），
∴⊙O的半徑為$\sqrt{5}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，證垂直即可，涉及到勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)．