Question

閱讀理解：對于任意正實數(shù)a、b，
∵（

a

-

b

）²≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有當(dāng)a=b時，a+b=2

ab

．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當(dāng)m=

 

時，m+

1

m

有最小值

 

．
（2）探索應(yīng)用：已知，點Q（-3，-4）是反比例函數(shù)圖象y=

k

x

的一點，過點Q作QA⊥x軸于點A，作QB⊥y軸于點B，點P為反比例函數(shù)圖象y=

k

x

(x＞0)上的任意一點，連接PA、PB，求四邊形AQBP面積的最小值；
（3）已知x＞0，則自變量x為何值時，函數(shù)y=

x

x2-2x+25

取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)已知條件，當(dāng)m=

1

m

時，m+

1

m

有最小值2

m× 1 m

，進而求出即可；
（2）連接PO，過點P作PM⊥x軸于點M，作PN⊥y軸于點N，首先利用S_{四邊形AQBP}=S_{四邊形AQBO}+S_△AOP+S_△BOP，再結(jié)合當(dāng)2x=

18

x

，時S_AQBP的面積最小，求出x的值，進而得出答案；
（3）首先設(shè)y′=

x2-2x+25

x

=x-2+

25

x

，當(dāng)x=

25

x

時y'_最小，進而得出x的值以及y的值．

解答：解：（1）當(dāng)m=

1

m

時，則m²=1，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴m+

1

m

有最小值是2；
故答案為：1，2；

（2）由題意得，S_AQBO=3×4=12，反比例函數(shù)解析式為：y=

12

x

，
連接PO，過點P作PM⊥x軸于點M，作PN⊥y軸于點N，設(shè)點P的坐標為（x，

12

x

），
∴S_△AOP=

1

2

×AO×PM=

1

2

×3×

12

x

=

18

x

，
S_△BOP=

1

2

×BO×PN=

1

2

×4×x=2x，
S_{四邊形AQBP}=S_{四邊形AQBO}+S_△AOP+S_△BOP=2x+

18

x

+12，
當(dāng)2x=

18

x

，時S_AQBP的面積最小，解得x₁=3，x₂=-3（舍去），
∴當(dāng)x=3時，S_{四邊形AQBP}=2×3+

18

3

+12=24，
∴四邊形AQBP面積的最小值為24；

（3）設(shè)y′=

x2-2x+25

x

=x-2+

25

x

，
當(dāng)x=

25

x

時y'_最小，∴當(dāng)x=5時，y'_最小=8，
∴當(dāng)x=5時，y最大=

1

8

．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及四邊形面積公式和函數(shù)最值求法等知識，利用已知得出當(dāng)2x=

18

x

，時S_AQBP的面積最小進而得出x的值是解題關(guān)鍵．