Question

10．如圖，正方形ABCD的邊長為5，連接BD，在線段CD上取一點(diǎn)E，在線段BD上取點(diǎn)F，使得∠BEC=∠DEF，當(dāng)S_△DEF=$\frac{1}{3}$S_△EFB時(shí)，在線段BC上有一點(diǎn)G，使FG+EG最短，則CG=$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 先利用軸對(duì)稱找出點(diǎn)G的位置，再利用S_△DEF=$\frac{1}{3}$S_△EFB，得出DB=4DF，進(jìn)而求出FM，EM，再判斷出△EMF∽△ECB，從而得出EC=3，最后用平行線分線段成比例即可求出CG．即可．

解答 解：如圖，延長EC至N，使CN=CE，連接FN交BC于G，此時(shí)的點(diǎn)G就是使FG+EG最短，
∵S_△DEF=$\frac{1}{3}$S_△EFB，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DF}{DB}=\frac{1}{4}$，
過點(diǎn)F作FM⊥CD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴FM∥BC，
∴$\frac{FM}{BC}=\frac{DM}{DC}=\frac{DF}{DB}$，
∵BC=CD=5，
∴$\frac{FM}{5}=\frac{DM}{5}=\frac{1}{4}$，
∴FM=DM=$\frac{5}{4}$，
∵∠BEC=∠DEF，∠EMF=∠ECB=90°，
∴△EMF∽△ECB，
∴$\frac{EM}{EC}=\frac{FM}{BC}=\frac{\frac{5}{4}}{5}$，
∴EC=4EM，
∵EM+EC+DM=5，
∴EM=$\frac{3}{4}$，EC=3，
∴CN=CE=3，MN=CN+CE+ME=3+3+$\frac{3}{4}$=$\frac{27}{4}$，
∵CG∥FM，
∴$\frac{CG}{FM}=\frac{CN}{MN}$，
∴$\frac{CG}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{\frac{27}{4}}$，
∴CG=$\frac{5}{9}$，
故答案為：$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是軸對(duì)稱--最短路線問題，主要考查了同高的兩三角形的面積比是底的比，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．