Question

8．如圖，直線l的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+b，它與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，其中B坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn) P在y軸上，且到直線l的距離為3，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ 選做）
（3）在第一象限的角平分線上是否存在點(diǎn)Q使得∠QBA=90°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）動點(diǎn)C從y軸上的點(diǎn)（0，10）出發(fā)，以每秒1cm的速度向負(fù)半軸運(yùn)動，求出點(diǎn)C運(yùn)動所有的時間t，使得△ABC為軸對稱圖形．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)B代入直線，求出直線解析式，然后求直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)到直線距離，可以做點(diǎn)到直線的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用三角形相似就出對應(yīng)線段長度，繼而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q在第一象限角平分線上，設(shè)Q（x，x），已知給出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）由條件可知△ABC為等腰三角形，可設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），則可用y分別表示出BC、AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)分AB=BC、AB=AC和BC=AC三種情況，可分別得到關(guān)于y的方程，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得運(yùn)動時間．

解答 解：
（1）將點(diǎn)B（0，4）代入直線l的解析式得b=4，
∴直線l的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令y=0可得-$\frac{4}{3}$x+4=0，解得x=3，
∴A（3，0）；
（2）如圖，過點(diǎn)P做直線AB的垂線，垂足為D，

∵OB=4，OA=3，
∴AB=5，
∵∠B是公共角，∠BDP=∠BOD，
∴△BOA∽△BDP，
∴$\frac{OA}{PD}$=$\frac{AB}{BP}$，
∴$\frac{3}{3}$=$\frac{5}{BP}$，
∴BP=5，
∵OB=4，
∴當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方進(jìn)，PB=4+5=9，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時，PB=4-5=-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，9）或（0，-1）；
（3）存在．理由如下：
∵Q在第一象限的角平分線上，
設(shè)Q（x，x），由勾股定理可得QB²+BD²=QD²，
∴x²+（x-4）²+5²=x²+（x-3）²，解得x=16，
∴Q（16，16），
即存在滿足條件的Q點(diǎn)；
（4）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y）（y≤10），則BC=|4-y|，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，且AB=5，
當(dāng)△ABC為軸對稱圖形，則△ABC為等腰三角形，
∴有AB=BC、AB=AC和BC=AC三種情況
①當(dāng)AB=BC時，即|4-y|=5，解得y=9或y=-1，
∴C（0，9）或（0，-1），
∴t=10-9=1或t=10-（-1）=11，
即此時C點(diǎn)運(yùn)動時間為1秒或11秒；
②當(dāng)AB=AC時，即$\sqrt{{y}^{2}+9}$=5，解得y=4或y=-4，
∴C（0，4）或（0，-4），但當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方時不合題意，舍去，
∴t=10-（-4）=14，
即此時C點(diǎn)運(yùn)動時間為14秒；
③當(dāng)BC=AC時，即BC²=AC²，即|4-y|²=y²+9，解得y=$\frac{7}{8}$，
∴C（0，$\frac{7}{8}$），
∴t=10-$\frac{7}{8}$=$\frac{73}{8}$，
即此時C點(diǎn)運(yùn)動時間為$\frac{73}{8}$秒；
綜上可知當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動1秒、$\frac{73}{8}$秒、11秒或14秒時，使得△ABC為軸對稱圖形．

點(diǎn)評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及點(diǎn)的坐標(biāo)、相似三角形判定及性質(zhì)、勾股定理、軸對稱圖形、等腰三角形的性質(zhì)、分類討論思想及方程思想等知識點(diǎn)．在（1）中利用B點(diǎn)坐標(biāo)求得直線解析式即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，在（2）中求得PB的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用勾股定理得出關(guān)于Q點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中化動為靜，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．