Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=

3

，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連結OC，則當OC為最大值時，點C的坐標是

 

．

Answer 1

考點：勾股定理,坐標與圖形性質,三角形三邊關系,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：連接OC，交AB于點E，過點C作CF⊥x軸于點F，E為AB的中點，當O，E及C共線時，OC最大，此時OE=

1

2

AB=1，由勾股定理求出CE=2，OC=3，設C的坐標是（x，y），由勾股定理得：x²+y²=3²，再證明△AOB∽△EBC，△AOB∽△CEO，可得：

AB

CO

=

BO

EO

，

BO

EO

=

AB

BC

，再代入相應的數(shù)值可得：

3

3

x=y，x²+y²=3²即可得出結論．

解答：解：連接OC，交AB于點E，點C作CF⊥x軸于點F，E為AB的中點，當O，E及C共線時，OC最大，
此時OE=BE=

1

2

AB=1，由勾股定理得：CE=

BC2+BE2

=2，
OC=1+2=3，
設C的坐標是（x，y），
由勾股定理得：x²+y²=3²，
∵EO=BE，
∴∠EOB=∠EBO，
∵∠CFO=∠AOB=90°，∠EOB=∠EBO，
∴△AOB∽△CFO，
∴

AB

CO

=

BO

FO

，
∴

2

3

=

BO

x

，
∴OB=

2

3

x，
∵∠CBA=90°，CE=2，BE=1，
∴∠BCO=30°，∠CEB=60°，
∴∠AEO=∠CEB=60°，
∵AE=OE，
∴△AEO是等邊三角形，
∴∠BAO=∠CEB=60°，∠CBE=∠AOB=90°，
∵△AOB∽△EBC，
∴

BO

CE

=

AB

BC

，
∴

BO

y

=

2

3

，
∴

2 3 x

y

=

2

3

，
∴

3

3

x=y，
∴x²+（

3

3

x）²=3²，
解得：x=

3 3

2

，y=

3

2

．
故答案為：（

3 3

2

，

3

2

）．

點評：本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．