Question

20．若A，B兩點是拋物線y=x²-3x-10與x軸交點（A左B右），拋物線上一點P的橫坐標為4，在拋物線AP段（不包括A，P點）上存在一點M，使得△MAP的面積最大，點M的坐標為（1，-12）．

Answer 1

分析 作MH⊥x軸于H，交AP于N，先解方程x²-3x-10=0確定A點坐標為（-2，0），B點坐標為（5，0），再確定P點坐標為（4，-6），然后利用待定系數(shù)法確定為直線AP的解析式為y=-x-2，設(shè)M點坐標為（x，x²-3x-10），則N點坐標為（x，-x-2），則MN=-x²+2x+8，接著得到S_△APM=S_△MNA+S_△MNP=$\frac{1}{2}$•（4+2）•（-x²+2x+8），于是可根據(jù)二次的最值問題進行求解．

解答 解：存在．
如圖作MH⊥x軸于H，交AP于N，
把y=0代入y=x²-3x-10得x²-3x-10=0，解得x₁=-2，x₂=5，
∴A點坐標為（-2，0），B點坐標為（5，0），
把x=4代入y=x²-3x-10得y=-6，
∴P點坐標為（4，-6），
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0）、P（4，-6）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{4k+b=-6}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AP的解析式為y=-x-2，
設(shè)M點坐標為（x，x²-3x-10），則N點坐標為（x，-x-2），
∴MN=-x-2-（x²-3x-10）=-x²+2x+8，
∴S_△APM=S_△MNA+S_△MNP=$\frac{1}{2}$•（4+2）•（-x²+2x+8）=-3x²+6x+24=-3（x-1）²+27，
∴當x=1時，△MAP的面積最大值為27，
把x=1代入y=x²-3x-10得y=1-3-10=-12，
∴此時M點坐標為（1，-12）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．