Question

16．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，分別延長(zhǎng)OA，OC到點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE=CF，依次連接B，F(xiàn)，D，E各點(diǎn)．
（1）求證：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=40°，則當(dāng)∠EBA=25°時(shí)，四邊形BFDE是正方形．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出AB=CB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠BCA，證出∠BAE=∠BCF，由SAS證明△BAE≌△BCF即可；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°，證出OE=OF，得出四邊形BFDE是菱形，證明△OBE是等腰直角三角形，得出OB=OE，BD=EF，證出四邊形BFDE是矩形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴180°-∠BAC=180°-∠BCA，
即∠BAE=∠BCF，
在△BAE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠BAE=∠BCF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）解：若∠ABC=40°，則當(dāng)∠EBA=25°時(shí)，四邊形BFDE是正方形．理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形，
∵∠EBA=25°，
∴∠OBE=25°+20°=45°，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OB=OE，
∴BD=EF，
∴四邊形BFDE是矩形，
∴四邊形BFDE是正方形；
故答案為：25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．