Question

10．已知，M是等邊△ABC邊BC上的點．
（1）如圖1，過點M作MN∥AC，且交AB于點N，求證：BM=BN；
（2）如圖2，連接AM，過點M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補角的平分線交與點H，過H作HD⊥BC于點D．
①求證：MA=MH；  
②猜想寫出BC、CM、CD之間的數(shù)量關(guān)系式，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，在根據(jù)等角對等邊可得MB=BN；
（2）①過M點作MN∥AC交AB于N，然后證明△AMN≌△MHC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得MA=MH；②過M點作MG⊥AB于G，再證明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因為BM=2CD可得BC=MC+2CD．

解答 （1）證明：如圖1，∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN；

（2）①證明：如圖2，過M點作MN∥AC交AB于N，則BM=BN，∠ANM=120°，
∵AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACD的平分線，
∴∠ACH=60°=∠HCD，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60°
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANM=∠MCH}\\{AN=MC}\\{∠HMC=∠MAN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；

②CB=CM+2CD；
證明：如圖2，過M作MG⊥AB于G，
∵HD⊥BC，
∴∠HDC=∠MGB=90°，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵MN=MB，
∴HC=BM，
在△BMG和△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠HCD}\\{∠MGB=∠HDC}\\{HC=MB}\end{array}\right.$，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴CD=BG，
∵△BMN為等邊三角形，
∴BM=2BG，
∴BM=2CD，
∴BC=MC+2CD．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和等邊三角形，解題時注意：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．