Question

11．如圖，已知⊙O₁與⊙O₂交于點A、B，CD是兩圓的外公切線，切點為C、D，直線BC與AD、BD與AC分別交于點E、F，求證：$\frac{EA}{AF}$=$\frac{FB}{BE}$．

Answer 1

分析 由弦切角定理可得∠GDA=∠DBA，∠GCA=∠CBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證到∠CBD+∠CAD=180°，再根據(jù)對頂角相等就可得到∠CBD+∠EAF=180°，推出A，F(xiàn)，B，E四點共圓，由∠GDA=∠DBA可證到△DGA∽△BGD，從而可得GD²=GA•GB，同理GC²=GA•GB，從而得到GD=GC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：連接AB并延長交CD于G，
∵直線CD分別切⊙O₁于C，切⊙O₂于D，
∴由弦切角定理可得：∠GDB=∠DAB，∠GCB=∠CAB．
∵∠CBD+∠GCB+∠GDB=180°，
∴∠CBD+∠CAB+∠DAB=180°．
∴∠CBD+∠CAD=180°．
∵∠CBD=∠EBF，
∴∠EBF+∠CAD=180°，
∴A，F(xiàn)，B，E四點共圓，
∴∠CFD=∠CAB，∠DEC=∠CAD，
∴∠CFB=∠DEB，
∵∠GDB=∠DAB，∠BGD=∠DGA，
∴△DGB∽△AGD．
∴$\frac{GD}{GA}$=$\frac{GB}{GD}$．
∴GD²=GA•GB．
同理可得：GC²=GA•GB．
∴GD=GC，
∵△DGA∽△BGD，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BG}{DG}$．
同理可得：$\frac{BC}{AC}=\frac{BG}{CG}$，
∵GD=GC，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$，
∵△BCF∽△ACE，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{BC}{AC}$，同理$\frac{BE}{AF}=\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{EA}{AF}$=$\frac{FB}{BE}$．

點評 本題考查了弦切角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等等知識，而運用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．