Question

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AD是⊙O的直徑，經(jīng)過點B作直徑AD的垂線交⊙O于另一點E，交AC的延長線于點F．求證：BC•EF=AB•CF．

Answer 1

考點：圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接DE，AE，由弦與直徑垂直得出DB=DE，AB=AE，再由同一條弦所對的圓周角相等得出△FBC∽△FAE，得出

EF

FC

=

AE

BC

，由AB=AE即可推出結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接DE，AE，

∵BE是圓的弦且直徑AD垂直BE，
∴DB=DE，AB=AE，
∵∠FBC=∠EAF，∠F=∠F，
∴△FBC∽△FAE，
∴

EF

FC

=

AE

BC

，
∵AB=AE，
∴BC•EF=AB•CF．

點評：本題主要考查了圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出△FBC∽△FAE．