Question

已知等邊三角形ABC和點P，設(shè)點P到△ABC的三邊AB，AC，BC的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高AM=h，
（1）當(dāng)點P在高AM上時，如圖（1）所示，可得結(jié)論：h₁+h₂+h₃

 

h；（填“＞”“=”“＜”）
（2）當(dāng)點p在△ABC內(nèi)部時，如圖（2）所示；當(dāng)點P在△ABC的BC邊下方時，如圖（3）所示；這兩種情況（1）中的結(jié)論是否成立？若成立．給予證明；若不成立，請寫出h₁、h₂、h₃、h之間新的關(guān)系式；
（3）當(dāng)點P在直線BC上時，此時h₃=0，請寫出h₁、h₂、h之間的關(guān)系式．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得出PD=PE=

1

2

PA，從而求得PD+PE=PA，即可求得h₁+h₂+h₃ =h；
（2）把點P與各頂點分別連接起來．根據(jù)組合圖形的面積與分割成的圖形面積之間的關(guān)系建立關(guān)系式，然后根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求解．
（3）把點P與A點連接起來．根據(jù)組合圖形的面積與分割成的圖形面積之間的關(guān)系建立關(guān)系式，然后根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求解．

解答：解：（1）如圖1，∵等邊三角形ABC中，AM是三角形的高，
∴AM是∠BAC的平分線，
∴∠BAM=

1

2

∠BAC=30°，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE=

1

2

PA，
∴PD+PE=PA，
∴PD+PE+PM=PA+PM=AM，
即h₁+h₂+h₃ =h；

（2）當(dāng)點P在△ABC內(nèi)部時，如圖2，h=h₁+h₂+h₃ 成立，理由如下：
連接AP、BP、CP，則 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF+

1

2

BC•PE
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂+

1

2

BC•h₃
又∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．
當(dāng)點P在△ABC外時，如圖3，結(jié)論h₁+h₂+h₃=h不成立．此時，它們的關(guān)系是h₁+h₂-h₃=h．
理由如下：連接PB，PC，PA
由三角形的面積公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE-

1

2

BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．
（3）當(dāng)點P在直線BC上時，如圖4，此時h₃=0，h=h₁+h₂，理由如下：
連接AP，則 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE，
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂
又∵△ABC是等邊三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．

點評：此題考查等邊三角形的性質(zhì)，30°角的直角三角形的性質(zhì)，運用等積法建立關(guān)系構(gòu)思巧妙，也是此題的難點．