Question

如圖，⊙O為Rt△ABC（∠ACB=90°）的內切圓，∠BOC=105°，AB=4 cm．
（1）∠A的度數(shù)；
（2）△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：計算題

分析：（1）根據三角形內切圓的定義得到OC平分∠ACB，OB平分∠ABC，則∠OCB=45°，再根據三角形內角和定理計算出∠OBC=180°-∠OCB-∠BOC=30°，所以∠ABC=2∠OBC=60°，然后利用互余可計算出∠A=30°；
（2）在Rt△ACB中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到BC=

1

2

AB=2，AC=

3

BC=2

3

，然后利用三角形面積公式求解．

解答：解：（1）∵⊙O為Rt△ABC（∠ACB=90°）的內切圓，
∴OC平分∠ACB，OB平分∠ABC，
∴∠OCB=

1

2

×90°=45°，
∴∠OBC=180°-∠OCB-∠BOC=180°-45°-105°=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°，
∴∠A=90°-∠ABC=30°；
（2）在Rt△ACB中，∵∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴AC=

3

BC=2

3

，
∴△ABC的面積=

1

2

•2•2

3

=2

3

（cm²）．

點評：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．