Question

20．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（-9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）設(shè)點P（m，$\frac{1}{3}$m²+2m+1），表示出PE=-$\frac{1}{3}$m²-3m，再用S_{四邊形AECP}=S_△AEC+S_△APC=$\frac{1}{2}$AC×PE，建立函數(shù)關(guān)系式，求出極值即可；
（3）先判斷出PF=CF，再得到∠PCA=∠EAC，以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況計算即可．

解答 解：（1）∵點A（0，1）．B（-9，10）在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{3}×81-9b+c=10}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+2x+1，

（2）∵AC∥x軸，A（0，1）
∴$\frac{1}{3}$x²+2x+1=1，
∴x₁=-6，x₂=0，
∴點C的坐標(biāo)（-6，1），
∵點A（0，1）．B（-9，10），
∴直線AB的解析式為y=-x+1，
設(shè)點P（m，$\frac{1}{3}$m²+2m+1）
∴E（m，-m+1）
∴PE=-m+1-（$\frac{1}{3}$m²+2m+1）=-$\frac{1}{3}$m²-3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S_{四邊形AECP}
=S_△AEC+S_△APC
=$\frac{1}{2}$AC×EF+$\frac{1}{2}$AC×PF
=$\frac{1}{2}$AC×（EF+PF）
=$\frac{1}{2}$AC×PE
=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{1}{3}$m²-3m）
=-m²-9m
=-（m+$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$，
∵-6＜m＜0
∴當(dāng)m=-$\frac{9}{2}$時，四邊形AECP的面積的最大值是$\frac{81}{4}$，
此時點P（-$\frac{9}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；

（3）∵y=$\frac{1}{3}$x²+2x+1=$\frac{1}{3}$（x+3）²-2，
∴P（-3，-2），
∴PF=y_F-y_P=3，CF=x_F-x_C=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直線AC上存在滿足條件的Q，
設(shè)Q（t，1）且AB=9$\sqrt{2}$，AC=6，CP=3$\sqrt{2}$
∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，
①當(dāng)△CPQ∽△ABC時，
∴$\frac{CQ}{AC}=\frac{CP}{AB}$，
∴$\frac{|t+6|}{6}=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}$，
∴t=-4或t=-8（不符合題意，舍）
∴Q（-4，1）
②當(dāng)△CQP∽△ABC時，
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{CP}{AC}$，
∴$\frac{|t+6|}{9\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{6}$，
∴t=3或t=-15（不符合題意，舍）
∴Q（3，1）

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)，幾何圖形面積的求法（用割補法），解本題的關(guān)鍵是求函數(shù)解析式．