Question

10．已知：如圖，直線y=-x+2與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，過D作DE⊥BC于E，作DF∥y軸交BC于F，求△DEF周長的最大值．
（3）在滿足第②問的條件下，在線段BD上是否存在一點(diǎn)P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出DF的最大值，判斷出△DEF為等腰直角三角形，最后求出周長最大值；
（3）先作出如圖所示的輔助線，再得出$\frac{DF}{DP}=\frac{DB}{DF}$，從而求出PM，DM即可．

解答 解：（1）直線y=-x+2與x軸交于B（2，0），與y軸交于C點(diǎn)（0，2），
設(shè)過A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐標(biāo)代入，
∴a=-1，b=1，c=2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+2，
（2）設(shè)D（x，-x²+x+2），F(xiàn)（x，-x+2），
∴DF=（-x²+x+2）-（-x+2）=-x²+2x，
所以x=1時(shí)，DF_最大=1，
∵OB=OC，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∵DE⊥BC，DF∥y軸，
∴△DEF為等腰直角三角形，
∴△DEF周長的最大值為1+$\sqrt{2}$
（3）如圖，

當(dāng)△DEF周長最大時(shí)，D（1，2），F(xiàn)（1，1）．延長DF交x軸于H，作PM⊥DF于M，
則DB=$\sqrt{5}$，DH=2，OH=1
當(dāng)∠DFP=∠DBC時(shí)，△DFP∽△DBF，
∴$\frac{DF}{DP}=\frac{DB}{DF}$，
∴DP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{PM}{BH}=\frac{DM}{DH}=\frac{DP}{DB}$=$\frac{1}{5}$，
∴PM=$\frac{1}{5}$，DM=$\frac{2}{5}$，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為OH+PM=1+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，
P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為DH-DM=2-$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴P（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，三角形的相似的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是極值的確定，也是難點(diǎn)．