Question

18．如圖，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K．如果MK²+CK²=AM²，則∠CDF的大小是15°（度）．

Answer 1

分析 先證明△CDA是等腰三角形，求出∠ACD=30°，；作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GK，GM，GD．證明△ADM≌△GDM后，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，GM=AM；根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又∵點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G，∴∠CKG=90°，∠FKC=$\frac{1}{2}$∠CKG=45°，根據(jù)三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°．

解答 解：在Rt△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G，
連接GK，GM，GD，
則CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=CD，
∴GD=AD．∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM，（3分）
∵DM=DM，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AD=DG}\\{∠ADM=∠GDM}\\{DM=DM}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△GDM，（SAS）
∴GM=AM．
∵M(jìn)K²+CK²=AM²，
∴MK²+GK²=GM²，
∴∠GKM=90°，
又∵點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱點(diǎn)G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=$\frac{1}{2}$∠CKG=45°，
∵∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，
故答案為：15°．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線．