Question

如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，DE=BF．
（1）點O是BD的中點，直線MN過點O與AD相交于點M，與BC相交于點N，連接MF、FN、NE、ME．求證：四邊形MFNE是平行四邊形；
（2）M、N分別是AD、BC上的點，AM=CN，連接MF、FN、NE、ME．求證：四邊形MFNE是平行四邊形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”證得結(jié)論；
（2）通過△DOM≌△BON得到OD=OB，則點O是BD的中點，結(jié)合（1）的結(jié)論，證得四邊形MFNE是平行四邊形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點O是對角線BD的中點，MN過點OP，
∴OD=OB，OM=ON．
又∵DE=BF，
∴OD-DE=OB-BF，即OE=OF，
∴四邊形MFNE是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AM=CN，∠MDO=∠NBO．
∴DM=BN．
在△DOM與△BON中，

∠DOM=∠BON ∠ODM=∠OBM DM=BN

，
∴△DOM≌△BON（AAS），
∴OD=OB，
∴點O是對角線BD的中點，
∴由（1）知，四邊形MFNE是平行四邊形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)�角的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．