Question

如圖，在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD、BE交于Q點，BP垂直AD于P點，求證：BQ=2PQ．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：首先證得△ABE≌△CAD，得∠ABE=∠CAD，又∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，所以，∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，所以，在直角△BPQ中，∠QBP=30°，即可證得BQ=2PQ．

解答：證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，

AB=CA ∠BAE=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，
又∵BP⊥AD，
∴在直角△BPQ中，∠QBP=30°，
∴BQ=2PQ．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質、三角形外角的性質、含30度直角三角形的性質及全等三角形的判定與性質，考查了學生綜合運用知識解答問題的能力．