Question

14．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖1，則有a²+b²=c²；若△ABC為銳角三角形時，小明猜想：a²+b²＞c²，理由如下：如圖2，過點A作AD⊥CB于點D，設CD=x．在Rt△ADC中，AD²=b²-x²，在Rt△ADB中，AD²=c²-（a-x）²
∴a²+b²=c²+2ax
∵a＞0，x＞0
∴2ax＞0
∴a²+b²＞c²
∴當△ABC為銳角三角形時，a²+b²＞c²
所以小明的猜想是正確的．
（1）請你猜想，當△ABC為鈍角三角形時，a²+b²與c²的大小關系．
（2）溫馨提示：在圖3中，作BC邊上的高．
（3）證明你猜想的結(jié)論是否正確．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可猜測：當△ABC為鈍角三角形時，a²+b²與c²的大小關系為：a²+b²＜c²；
（2）根據(jù)題意可作輔助線：過點A作AD⊥BC于點D；
（3）然后設CD=x，分別在Rt△ADC與Rt△ADB中，表示出AD²，即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）當△ABC為鈍角三角形時，a²+b²與c²的大小關系為：a²+b²＜c²；

（2）如圖3，過點A作AD⊥BC于點D，

（3）證明：如圖3，設CD=x．
在Rt△ADC中，AD²=b²-x²，在Rt△ADB中，AD²=c²-（a+x）²
∴a²+b²=c²-2ax
∵a＞0，x＞0
∴2ax＞0
∴a²+b²＜c²
∴當△ABC為鈍角三角形時，a²+b²＜c²．

點評 此題屬于三角形的綜合題．考查了勾股定理以及三角形的面積問題．注意理解題意是解此題的關鍵．