Question

13．如圖，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線(xiàn)，BC=8，CD=3，求AC長(zhǎng)．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，如圖，先計(jì)算出BD=5，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得DE=DC=3，則利用勾股定理可計(jì)算出BE=4，再證明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，設(shè)AC=x，則AB=x+4，、在Rt△ABC中，利用勾股定理得到x²+8²=（x+4）²，然后解方程求出x即可．

解答 解：作DE⊥AB于E，如圖，
∵BC=8，CD=3，
∴BD=5，
∵AD是∠CAB的平分線(xiàn)，
∴DE=DC=3，
在Rt△BED中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE，
設(shè)AC=x，則AB=x+4，、
在Rt△ABC中，x²+8²=（x+4）²，解得x=6．
即AC的長(zhǎng)為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了勾股定理定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．